等差数列前N项和是SN=30,前2N项和是S2N=100求S3N的值答案说用SN,S2N-SN,S3N-S2N,成等差数列!那么这个东西怎么来的?SN,S2N-SN,S3N-S2N,成等差数列为什么成等差数列啊?

Question

等差数列前N项和是SN=30 ,前2N项和是S2N=100 求 S3N的值
答案说用SN ,S2N-SN,S3N-S2N ,成等差数列!那么这个东西怎么来的?SN ,S2N-SN,S3N-S2N ,成等差数列为什么成等差数列啊?

Answer 1

这个在学等差数列,或者说数列里面是非常常用的.
根据通项不妨设：Sn=a1n+n(n-1)d/2
S2n=2a1n+n(2n-1)d
S3n=3a1n+3n(3n-1)d/2
∴（S2n-Sn）-Sn=2a1n+n(2n-1)d-2a1n+n(n-1)d=n^2d
S3n-S2n-(S2n-Sn)=S3n-2S2n+Sn=3a1n+3n(3n-1)d/2-4a1n-2n(2n-1)d+a1n+n(n-1)d/2
=n^2d
所以,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列
值得一提的是：在等比数列中,sn 与s2n-sn 和s3n-s2n也是成等比的.
等差和等比有很多相似的性质.
我也给个证明吧.
Sn = a1 + a2 + .+ an
S2n-Sn = a（n+1）+a（n+2）+ .+ a（2n）
S3n-S2n=a（2n+1）+a（2n+2）+.+a（3n）
易知(S2n-Sn)/Sn=(S3n-S2n）/(S2n-Sn)=.=a2n/an=q^n (q是{an}公比）
所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,.成等比数列 且公比为q^n
最后,你的这道题的答案应该是：30,70,S3N-S2N=S3N-100,成等差.
即140=30+S3N-100 所以：S3N=210