已知函数f（x）=ax-x2-lnx存在极值，若这些极值的和大于5+ln2，则实数a的取值范围为（）A.（-∞，4）B.（4，+∞）C.（-∞，2）D.（2，+∞）

Question

已知函数f（x）=ax-x²-lnx存在极值，若这些极值的和大于5+ln2，则实数a的取值范围为（　　）

A. （-∞，4）

B. （4，+∞）

C. （-∞，2）

D. （2，+∞）

Answer 1

f（x）=ax-x²-lnx，x∈（0，+∞），
则f′（x）=a-2x-(1)/(x)=-(2x2-ax+1)/(x)，
∵函数f（x）存在极值，∴f′（x）=0在（0，+∞）上有根，
即2x²-ax+1=0在（0，+∞）上有根，∴△=a²-8≥0，
显然当△=0时，F（x）无极值，不合题意；
∴方程必有两个不等正根，记方程2x²-ax+1=0的两根为x₁，x₂，x₁+x₂=(a)/(2)，x₁x₂=(1)/(2)，
f（x₁），f（x₂）是函数F（x）的两个极值，
由题意得，f（x₁）+f（x₂）=a（x₁+x₂）-（x₁²+x₂²）-（lnx₁+lnx₂）
=(a2)/(2)-(a2)/(4)+1-ln(1)/(2)>5-ln(1)/(2)，
化简解得，a²>16，满足△>0，
又x₁+x₂=(a)/(2)>0，即a>0，
∴∴a的取值范围是（4，+∞），
故选：B．