设直线l过点P(0,2),与椭圆x^2+2y^2=2交於A,B且|AB|=sqrt(14)/3,求直线l的方程.

Question

设直线l过点P(0,2),与椭圆x^2+2y^2=2交於A,B 且|AB|=sqrt(14)/3,求直线l的方程.

Answer 1

设直线L的斜率为k,A、B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),因为L过点P(0,2),所以由点斜式可写出L的直线方程：
y=kx+2
L的直线方程代入椭圆的方程x²+2y²=2,联立消y得：
(2k²+1)x²+8kx+6=0
由判别式△=(8k)²- 4(2k²+1)*6>0,解得k²>3/2
由韦达定理有：
x1+x2= -8k/(2k²+1)
x1*x2=6/(2k²+1)
所以|AB|²=(x1-x2)²+(y1-y2)²
=(x1-x2)²+[(kx1+2)-(kx2+2)]²
=(x1-x2)²+[k(x1-x2)]²
=(k² +1)(x1-x2)²
=(k² +1)[(x1+x2)²-4x1x2]
=(k² +1){[-8k/(2k²+1)]²-4*6/(2k²+1)}
=(16k² -24) (k² +1) /(2k²+1)²
依题意|AB|=√14/3,所以
(16k² -24) (k² +1) /(2k²+1)²= (√14/3)²
解方程得：k²=86/11 (-70/11已舍去)
所以k=±√(86/11),代加前面所设的点斜式方程得直线L：
y=2±√(86/11)x