已知矩阵M=2142，向量β=.17.．（1）求矩阵M的特征向量；（2）计算M50β．

Question

已知矩阵 M=

2  1

4  2

，向量

β

=

.

1 7

.

．
（1）求矩阵M的特征向量；
（2）计算M ⁵⁰

β

．

Answer 1

（1）矩阵M的特征多项式为 f(λ)=

.

λ-2	-1
-4	λ-2

.

=(λ-2 ) 2 -4=0 ，…（3分）
所以λ ₁ =0，λ ₂ =4，设对应的特征向量为α ₁ =

x 1

y 1

，α ₂ =

x 2

y 2

．
由Mα ₁ =λ ₁ α ₁ ，Mα ₂ =λ ₂ α ₂ ，可得2x ₁ +y ₁ =0，2x ₂ -y ₂ =0，
所以矩阵M的一个特征向量为α ₁ =

1

-2

，α ₂ =

1

2

．…（7分）
（2）令β=mα ₁ +nα ₂ ，则

1

7

=m

1

-2

+n

1

2

，解得 m=-(5)/(4) ， n=(9)/(4) ，…（9分）
所以M ⁵⁰ β=M ⁵⁰ (-(5)/(4) α 1 +(9)/(4) α 2 )
= -(5)/(4) ( M 50 α 1 )+(9)/(4) ( M 50 α 2 )
= -(5)/(4) ( λ 1 50 α 1 )+(9)/(4) ( λ 2 50 α 2 )
= (9)/(4) • 4 50

1

2

=

4 50 •(9)/(4)

4 50 •(9)/(2)

．      …（14分）