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如图,已知在半径为2的⊙O中有一点E,过点E的弦AB与CD互相垂直,且OE=1,(1)求AB2+CD2的值;(2)求证:AE2+CE2+EB2+ED2为定值;(3)求证:AC2+BC2+BD2+AD2为定值.
题目详情
如图,已知在半径为2的⊙O中有一点E,过点E的弦AB与CD互相垂直,且OE=1,
(1)求AB2+CD2的值;
(2)求证:AE2+CE2+EB2+ED2为定值;
(3)求证:AC2+BC2+BD2+AD2为定值.
(1)求AB2+CD2的值;
(2)求证:AE2+CE2+EB2+ED2为定值;
(3)求证:AC2+BC2+BD2+AD2为定值.
▼优质解答
答案和解析
(1)连接AO,DO,作OM⊥CD于点M,作ON⊥AB于点N,
∵DC⊥AB,OM⊥DC,ON⊥AB,
∴四边形OMEN为矩形;
∵OM2+ME2=OE2(勾股定理),
又∵ME2=ON2
∴OM2+ON2=OE2;
∵OM2=DO2-DM2=4-(
)2;
又∵ON2=OA2-AN2=4-(
)2,
∴OM2+ON2=4-(
)2+4-(
)2=1,
∴AB2+CD2=28;
(2)AE2+CE2+EB2+ED2=(AE+BE)2-2AE•BE+(CE+DE)2-2CE•DE=AB2+CD2-4AE•EB=28-4AE•EB.
如图,过点E作直径PH,则EP•EH=EA•EB,
∵EP•EH=(2-OE)(2+OE)=1×3=3
∴AE2+CE2+EB2+ED2=28-4×3=16,即AE2+CE2+EB2+ED2为定值16;
(3)如图,连接AC、BC、AD、BD.
AC2+BC2+BD2+AD2
=2(AE2+BE2)+2(DE2+EC2)
=2×16
=32
即AC2+BC2+BD2+AD2为定值32.
∵DC⊥AB,OM⊥DC,ON⊥AB,
∴四边形OMEN为矩形;
∵OM2+ME2=OE2(勾股定理),
又∵ME2=ON2
∴OM2+ON2=OE2;
∵OM2=DO2-DM2=4-(
DC |
2 |
又∵ON2=OA2-AN2=4-(
AB |
2 |
∴OM2+ON2=4-(
AB |
2 |
DC |
2 |
∴AB2+CD2=28;
(2)AE2+CE2+EB2+ED2=(AE+BE)2-2AE•BE+(CE+DE)2-2CE•DE=AB2+CD2-4AE•EB=28-4AE•EB.
如图,过点E作直径PH,则EP•EH=EA•EB,
∵EP•EH=(2-OE)(2+OE)=1×3=3
∴AE2+CE2+EB2+ED2=28-4×3=16,即AE2+CE2+EB2+ED2为定值16;
(3)如图,连接AC、BC、AD、BD.
AC2+BC2+BD2+AD2
=2(AE2+BE2)+2(DE2+EC2)
=2×16
=32
即AC2+BC2+BD2+AD2为定值32.
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