AB是椭圆(a>b>0)中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，O是椭圆的中心，求证：为定值．

Question

AB是椭圆(a>b>0)中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，O是椭圆的中心，求证：为定值．
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Answer 1

【分析】设出直线方程，与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂，的表达式，根据直线方程求得y₁+y₂的表达式，进而根据点M为AB的中点，表示出M的横坐标和纵坐标，求得直线OM的斜率，进而代入k_AB•k_OM中求得结果为定值，原式得证．

证明：设直线为：y=kx+c
联立椭圆和直线消去y得
b²x²+a²(kx+c)²-a²b²=0，即 (b²+k²a²)x²+2a²kcx+a²(c²-b²)=0
∴x₁+x₂=-
∴M点的横坐标为：M_x=(x₁+x₂)=-.
∵y₁=kx₁+c，y₂=kx₂+c
∴y₁+y₂=k(x₁+x₂)+2c=
∴点M的纵坐标M_y=(y₁+y₂)=
∴===-
∴k_AB•k_OM=k×=

【点评】本题主要考查了椭圆的应用．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便．