已知点F1、F2分别为x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若|PF2|2|PF1|的最小值为9a，则这个双曲线的离心率为．

Question

已知点F₁、F₂分别为(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若

(|PF2|2)/(|PF1|)

的最小值为9a，则这个双曲线的离心率为______．

Answer 1

由P为双曲线左支上的任意一点，
则|PF₂|-|PF₁|=2a，
即有|PF₂|=|PF₁|+2a，
令|PF₁|=t（t≥c-a），
则

(|PF2|2)/(|PF1|)

=((t+2a)2)/(t)=(t2+4ta+4a2)/(t)=t+(4a2)/(t)+4a，
若t+(4a2)/(t)+4a≥2√(t•(4a2)/(t))+4a=8a，
当且仅当t=2a时，取最小值8a，则由题意可得，c-a＞2a，即有c＞3a．
故[c-a，+∞）是增区间，即有c-a+(4a2)/(c−a)+4a=9a，
化简得，10a²-7ac+c²=0，
解得c=2a（舍去）或c=5a．
则离心率为e=(c)/(a)=5．
故答案为：5．