13.已知双曲线x2-y2=a的右焦点为F,过F的任一直线交双曲线右支于M、N,MN的垂直平分线交X轴于P,则当a取任意正实数时,FN的长度比MN的长度的值.

Question

13.已知双曲线x2-y2=a的右焦点为F,过F的任一直线交双曲线右支于M、N,MN的垂直平分线交X轴于P,则当a取任意正实数时,FN的长度比MN的长度的值_____.

Answer 1

过双曲线x2－y2＝t(t>0)的右焦点f做直线交该双曲线的右支于m,n两点,弦mn的垂直平分线交x轴于p点,则fp的距离比上mn＝
设FM=m,FN=n,Q为MN中点,∠MFX=θ ,则e=根号2,p=c-a^2/c=(根号t/2),θ∈（π/4,3π/4）
m/(mcosθ+p)=n/(p-ncosθ）=e ,m=ep/(1-ecosθ）,n=ep/(1+ecosθ）
MN=m+n=2ep/(1-e^2cos^2θ),FQ=(m-n)/2=epcosθ/(1-e^2cos^2θ),FP=FQ/cosθ=ep/(1-e^2cos^2θ)
FP：MN=1:2