AB在xy轴上OA=OB=1P是函数Y=1\(2X)图像上的一动点过P作PM垂直X轴PN垂直Y轴PMPN于AB交于E、F（1）求证AF.BE=1（2）若平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点,求公共点的坐标

Question

AB在xy轴上OA=OB=1P是函数Y=1\(2X)图像上的一动点过P作PM垂直X轴PN垂直Y轴PMPN于AB交于E、F
（1）求证AF.BE=1
（2）若平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点,求公共点的坐标

Answer 1

(1)设P点坐标为(a,b)
∵P 在双曲线y=1/2x上
∴ab=1/2
作EG⊥y轴于点G,FH⊥x轴于点H
易得∠OAB=OBA=45°
∴BE=√2a,AF=√2b
∴AE *BF =√2a*√2b=2ab=2*1/2=1
(2)设平行于AB的直线为y=-x+b
则-x+b=1/2x
2x²-2bx+1=0
∵直线与双曲线只有一个公共点
∴4b²-8=0
b=±√2
公共点的坐标为（√2/2,√2/2）或（-√2/2,-√2/2）