如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G．求证：∠GAC=∠EAC．

Question

如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G．求证：∠GAC=∠EAC．

Answer 1

证明：如图，连接BD交AC于H，
过点C作AB的平行线交AG的延长线于I，过点C作AD的平行线交AE的延长线于J．
对△BCD用塞瓦定理，可得(CG)/(GB)•(BH)/(HD)•(DE)/(EC)＝1①
因为AH是∠BAD的角平分线，
由角平分线定理知(BH)/(HD)＝(AB)/(AD)．
代入①式得(CG)/(GB)•(AB)/(AD)•(DE)/(EC)＝1②
因为CI∥AB，CJ∥AD，则(CG)/(GB)＝(CI)/(AB)，(DE)/(EC)＝(AD)/(CJ)．
代入②式得(CI)/(AB)•(AB)/(AD)•(AD)/(CJ)＝1．
从而CI=CJ．又由于
∠ACI=180°-∠BAC=180°-∠DAC=∠ACJ，
所以△ACI≌△ACJ，故∠IAC=∠JAC，即∠GAC=∠EAC．