如图，△ABC中，BD、CE是高，EH⊥BC于H、交BD于G、交CA的延长线于M．求证：HE2=HG•MH．

Question

如图，△ABC中，BD、CE是高，EH⊥BC于H、交BD于G、交CA的延长线于M．求证：HE²=HG•MH．

Answer 1

证明：∵CE⊥AC，EH⊥BC，
∴∠EHB=∠EHC=90°，∠BEC=90°，
∴∠EBH+∠BEH=90°，∠BEH+∠CEH=90°，
∴∠EBH=∠CEH，
∵∠EHB=∠EHC，
∴△BHE∽△EHC，
∴(EH)/(CH)＝(BH)/(EH)，
∴EH²=CH•BH，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC+∠BCD=90°，
又∠M+∠HCM=90°，
∴∠DBC=∠M，
∠GHB=∠MHC=90°，
∴△BHG∽△MHC，
∴(HG)/(CH)＝(HB)/(HM)，
∴HG•HM=CH•HB，
∴HE²=HG•HM．