设总体X的概率密度为X～f（x；λ）=λexp(−λx)．(x＞0)0．(其它)，其中λ为未知参数，（x1，x2…xn）是取自总体X的样本．试求λ的据估计和最大似然估计．

Question

设总体X的概率密度为X～f（x；λ）=

λexp(−λx)．(x＞0)

0．(其它)

，其中λ为未知参数，（x₁，x₂…x_n）是取自总体X的样本．试求λ的据估计和最大似然估计．

Answer 1

（1）总体X期望为：E(X)＝

∫

+∞ 0

xλe−λxdx＝(1)/(λ)
用样本矩代替总体矩，即EX＝

.

X

，
得λ的矩估计量为：

̂

λ

＝(1)/(.X)
（2）似然函数为：
L(λ)＝λne−λ

n

i＝1

xi
则
lnL(λ)＝nlnλ−λ

n

i−1

xi
令(d)/(dλ)lnL(λ)＝(n)/(λ)−

n

i＝1

xi＝0
解得λ的极大似然估计值为：

̂

λ

＝(n)/(ni＝1xi)＝(1)/(.x)
即极大似然估计量为：

̂

λ

＝(n)/(ni＝1Xi)＝(1)/(.X)．