关于二次型中（不要求正交变换）求得的特征向量不进行正交化得出的结果和正交化不一样的几个问题字数超了不能追问只能重开贴了在这个网址的讨论经过我的演算，答案是对的

Question

关于 二次型中（不要求正交变换） 求得的特征向量不进行正交化 得出的结果和正交化不一样 的几个问题

字数超了 不能追问 只能重开贴了 在这个网址的讨论

经过我的演算，答案是对的，论坛里的讨论错了。。。显然P1不是正交矩阵，那么直接使用相似对角化，P1-1AP得出特征值为对角的对角矩阵，答案正确，如果对P1单位化，那么就变成了正交矩阵，此时使用合同法PTAP，也得出了相同结果

于是，总结为：

对特征向量〔不考虑特征值重根，如果重根，进行正交基变换，但不单位化〕

方法一，使用相似对角化法，使用P的逆矩阵P-1AP

方法二对向量组单位化，此时，变为正交矩阵，那么使用合同法，PTAP

经过我用了两道题结果，是对的，，，，那么，我就有了几个疑问

疑问一：

方法一中，并没有涉及到合同，，，方法二中，正交矩阵PT＝P-1，实际上也是一种相似对角化的方法，就是说，二次型转换不必使用转置矩阵，，，这么看的话，合同法实际上是一种对相似的简化，毕竟转置矩阵相对于逆矩阵更容易得到，，，这么理解对吗？ 还是说 仅限于实对称矩阵中相似必定合同或者什么限制条件

疑问二

如果直接对为单位化的P使用PTAP 得到一个对角矩阵，，按着二次型写出来 答案明显不一样 （就是论坛里的结果 8y2^2+27y3^2） 这个结果对吗？

Answer 1

找到这个题了, 电子版 411 页. 这样不对. 变换必须是合同变换才行(故需P为正交矩阵) P1^-1AP1 = diag(0,4,9) 这没问题 但是x = P1y 代入二次型得到的是 f = (P1y)^TA(P1y) = y^T (P1^TAP1) y ≠ y^T (P1^-1AP1) y = ...