我记得求极限时,运用无穷小代换还有一些东西,但是我记得计算极限时,老师说把能直接求出结果的,直接求出来,就像limx->整数,什么样的能先直接代入这个整数求出来,我记得老师说过,但是我

Question

我记得求极限时,运用无穷小代换还有一些东西,但是我记得计算极限时,老师说把能直接求出结果的,直接求出来,就像lim x->整数,什么样的能先直接代入这个整数求出来,我记得老师说过,但是我有点模糊了,最好再给个例子,那种求这个极限时,先找到能直接代入求出一步,再运用无穷小等代换的.

Answer 1

如果这个式子的极限存在的话,就可以直接分开求出来
这种方法通常是乘除关系才可以用,加减关系的话看情况
例如lim(x→0) cosx存在,可先求出来: lim(x→0) cosx = cos(0) = 1
lim(x→0) ln(1+x)/tanx
= lim(x→0) ln(1+x)/(sinx/cosx)
= lim(x→0) ln(1+x)/sinx * cosx
= lim(x→0) ln(1+x)/sinx * lim(x→0) cosx
= lim(x→0) ln(1+x)/sinx * 1
但是lim(x→0) (sinx-xcosx)/x³不能将x=0代入cosx
直接变为lim(x→0) (sinx-x)/x³,这是错误做法
因为xcosx=x-x³/2+..的第一项x已经和sinx=x-x³/6+...的第一项x抵消掉
将xcosx换成x,这样就会像cosx所带来的x³的系数忽略了而导致误差产生
sinx-x=-x³/6+x⁵/120-...
将另外的sinx换成x的话变成x-x=0,这样就更加错误了
而sinx-xcosx=x³/3-x⁵/30+...
可见sinx-xcosx和sinx-x中x³的系数都不同,这就是误差了
但是乘除中的cosx就没有这个问题,cosx=1-x²/2+x⁴/24-...
当x→0时cosx的值趋向第一项的1
sinx=x-x³/6+x⁵/120-...
sinxcosx=x-2x³/3+2x⁵/15-...
当x→0时sinx和sinxcosx都同样趋向x