如图（a），小球甲固定于水平气垫导轨的左端，质量m=0.4kg的小球乙可在导轨上无摩擦地滑动，甲、乙两球之间因受到相互作用而具有一定的势能，相互作用力沿二者连线且随间距的变化而

Question

如图（a），小球甲固定于水平气垫导轨的左端，质量m=0.4kg的小球乙可在导轨上无摩擦地滑动，甲、乙两球之间因受到相互作用而具有一定的势能，相互作用力沿二者连线且随间距的变化而变化．现已测出势能随位置x的变化规律如图（b）中的实线所示．已知曲线最低点的横坐标x₀=20cm，虚线①为势能变化曲线的渐近线，虚线②为经过曲线上某点的切线．

（1）将小球乙从x₁=8cm处由静止释放，小球乙所能达到的最大速度为多大？
（2）假定导轨右侧足够长，将小球乙在导轨上从何处由静止释放，小球乙不可能第二次经过x₀=20cm的位置？并写出必要的推断说明；
（3）若将导轨右端抬高，使其与水平面的夹角α=30°，如图（c）所示．将球乙从x₂=6cm处由静止释放，小球乙运动到何处时速度最大？并求其最大速度；
（4）在图（b）上画出第（3）问中小球乙的动能E_k与位置x的关系图线．

Answer 1

（1）球乙运动到x₀=20cm位置时势能最小，速度最大，由能量守恒可得：
0+Epl＝(1)/(2)m

v

2 m

+0
解出：vm＝√((2Epl)/(m))＝√((2×0.2)/(0.4))m/s＝1m/s
答：小球乙所能达到的最大速度为1m/s．
（2）在0＜x＜6cm区间内将小球乙由静止释放，不可能第二次经过x₀．
原因：在0＜x＜6cm区间内两球之间的作用力为排斥力，在20cm＜x＜∞区间内两球之间作用力为吸引力，无穷远处和6cm处的势能为0.28J．若小球乙的静止释放点在6cm＜x＜∞区间，小球乙做往复运动，多次经过x₀=20cm的位置．而静止释放点在0＜x＜6cm区间内时，初态势能大于0.28J，小球乙将会到无穷远处而无法返回，只能经过x₀位置一次．
（3）x₃=12cm处的切线斜率(△Ep)/(△x)＝(0.34)/(0.17)J/m＝2J/m，
表明此处乙球受到甲球2N的排斥力，乙球此处受到重力的分力为mgsinα=2N．
所以，乙球在x₃=12cm处时，所受合外力等于零，速度最大．
从图中读出x₃=12cm处的势能E_P3=0.1J，x₂=6cm处的势能E_p2=0.28J，
能量守恒：0+Ep2+mgx2sinα＝(1)/(2)m

v

′2 m

+Ep3+mgx3sinα
解出：

v

′ m

＝√((2(Ep2−EP3))/(m)−2g(x3−x2)sinα)=√(0.3)m/s＝0.55m/s
答：小球乙运动到x₃=12cm时速度最大，其最大速度为0.55m/s．
（4）得出图象如下所示，注意几个特殊位置，x₂=6cm处的动能为E_k=0；x₃=12cm处的动能E_k=0.06J，x₄=20cm处的动能E_k=0J．