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已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1的离心率为根号3/2,过右焦点F且斜率为k的直线与C交与A.B两点,若AF向量=3FB向量.求k
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已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1的离心率为根号3/2,过右焦点F且斜率为k的直线与C交与A.B两点,若AF【向量】=3FB【向量】.求k
▼优质解答
答案和解析
这个题目用椭圆的第二定义比较简单
如图：MN是准线
设|BF|=t,则|AF|=3t
利用椭圆第二定义|BF|：|BM|=e,|AF|:|AN|=e
∴ |BM|=t/e,|AN|=3t/e
∴ |AK|=3t/e-t/e=2t/e
∵|AB|=4t
∴ cos∠BAK=|AK|/|AB|=1/(2e)=1/(2*√3/2)=1/√3
∴ tan ∠BAK=√2
即 直线AB的斜率是√2
利用对称性,AB的斜率也可以是-√2
∴ k=√2或k=-√2
如图：MN是准线
设|BF|=t,则|AF|=3t
利用椭圆第二定义|BF|：|BM|=e,|AF|:|AN|=e
∴ |BM|=t/e,|AN|=3t/e
∴ |AK|=3t/e-t/e=2t/e
∵|AB|=4t
∴ cos∠BAK=|AK|/|AB|=1/(2e)=1/(2*√3/2)=1/√3
∴ tan ∠BAK=√2
即 直线AB的斜率是√2
利用对称性,AB的斜率也可以是-√2
∴ k=√2或k=-√2
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