（2012•金华模拟）如图，正方形ABCD，对角线AC与BD交于点O，点E是AB上的动点，CE交BD于点G，EK⊥CE交边AD于点K，交对角线AC于点F．（1）若AE=BE，探索线段EK与CE的数量关系，线段EF与EG的数量关

Question

（2012•金华模拟）如图，正方形ABCD，对角线AC与BD交于点O，点E是AB上的动点，CE交BD于点G，EK⊥CE交边AD于点K，交对角线AC于点F．
（1）若AE=BE，探索线段EK与CE的数量关系，线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论．
（2）若AE=2BE，探索线段EK与CE的数量关系，线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论．
（3）若AE=kBE，探索线段EK与CE的数量关系，线段EF与EG的数量关系，请直接写出结论．

Answer 1

（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=90°，∠EBC=∠GBC=∠ABD=∠BDC=45°．
∴∠BEC+∠BCE=45°
∵EK⊥CE，
∴∠KEC=90°．
∴∠AEK+∠BEC=90°
∴∠AEK=∠BCE，
∴△AKE∽△BEC，
∴(AE)/(BC)＝(KE)/(CE)．
∵AE=BE，
∴(AE)/(AB)＝(BE)/(AB)＝(1)/(2)，
∴(AE)/(BC)＝(BE)/(CD)＝(1)/(2)，
∴(KE)/(CE)＝(1)/(2)；
∵∠EAF=∠GBC，∠AEK=∠BCE，
∴△AFE∽△BGC，
∴(EF)/(CG)＝(AE)/(BC)＝(1)/(2)，
∴EF=(1)/(2)GC．
∵∠ABD=∠BDC，∠EGB=∠CGD，
∴△BEG∽△DCG，
∴(BE)/(CD)＝(EG)/(CG)，
∴(EG)/(CG)＝(1)/(2)，
∴EG=(1)/(2)GC，
∴EF=EG；

（2）如图2，∵AE=2BE，
∴(AE)/(AB)＝(2)/(3)，(BE)/(AB)＝(1)/(3)，
∴(AE)/(BC)＝(2)/(3)，(BE)/(CD)＝(1)/(3)．
∵∠DAB=∠ABC，∠AEK=∠BCE，
∴△AKE∽△BEC，
∴(AE)/(BC)＝(KE)/(CE)，
∴(KE)/(CE)＝(2)/(3)．
∵∠EAF=∠GBC，∠AEK=∠BCE，
∴△AFE∽△BGC，
∴(EF)/(CG)＝(AE)/(BC)＝(2)/(3)，
∴EF=(2)/(3)GC．
∵∠ABD=∠BDC，∠EGB=∠CGD，
∴△BEG∽