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椭圆E中心在坐标原点,焦点在x轴上,其离心率e=√ 6/3,过点C(-1,0)的直线l与椭圆E相交于点A,B两点,且向量AC=2向量CB,求用直线l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面积.

题目详情
椭圆E中心在坐标原点,焦点在x轴上,其离心率e=√ 6/3,过点C(-1,0)的直线l与椭圆E相交于点A,B两点,且向量AC=2向量CB,求用直线l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面积.
▼优质解答
答案和解析
由于椭圆的离心率为e=√ 6/3,可以设椭圆的方程为
x^2/9m^2+y^2/3m^2=1,即x^2+3y^2=9m^2
直线的方程为y=k(x+1)
联立两方程得
(1+3k^2)x^2+6k^2x+(3k^2-9m^2)=0
由于直线和椭圆的两个交点必有一个在x轴上方,一个在下方
可以设A在上方
设A(x1,y1) B(x2,y2)
则x1+x2=-6k^2/(1+3k^2)
由于向量AC=2向量CB,故有|y1|=2|y2|,x1+1=2(-1-x2)
即y1=-2y2同时x1+x2=-3-x2
三角形的面积S=1/2x1x|y1|+1/2x1x|y2|=-3y2/2=-3k(x2+1)/2
又由于x1+x2=-3-x2=-6k^2/(1+3k^2),得
x2=-3(1+k^2)/(1+3k^2)
x2+1=-2/((1+3k^2)
从而S=-3k(x2+1)/2
=3k/(1+3k^2)
(说明一下,思路是假定k>0的情况下,如果k
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