如图1，图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=8，点D时AB边长的中点，点E时AB边上一动点（点E不与点A、B重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于F，交射线CD于点G．（1）当点E在点D的左侧运动时，（图1

Question

如图1，图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=8，点D时AB边长的中点，点E时AB边上一动点（点E不与点A、B重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于F，交射线CD于点G．
（1）当点E在点D的左侧运动时，（图1），求证：△ACE≌△CBG；
（2）当点E在点D的右侧运动时（图2），（1）中的结论是否成立？请说明理由；
（3）当点E运动到何处时，BG=5，试求出此时AE的长．

Answer 1

（1）在Rt△ABC中，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°．
∵点D是AB的中点，
∴∠BCG=(1)/(2)∠ACB=45°，
∴∠A=∠BCG．
∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°．
∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠CBG=∠ACE，
在△ACE和△CBG中，

∠ACE=∠CBG

AC=BC

∠A=∠BCG

，
∴△ACE≌△CBG；
（2）结论仍然成立，即△ACE≌△CBG．
理由如下：在Rt△ABC中，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°．
∵点D是AB的中点，
∴∠BCG=(1)/(2)∠ACB=45°，
∴∠A=∠BCG．
∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°．
∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠CBG=∠ACE，
∴△ACE≌△CBG；
（3）在Rt△ABC中，
∵AC=BC，点D是AB的中点，
∴CD⊥AB，CD=AD=BD=(1)/(2)AB=4，
在Rt△BDG中，DG=√(BG2-BD2)=3．
点E在运动的过程中，分两种情况讨论：
①当点E在点D的左侧运动时，CG=CD-DG=1，
∵△ACE≌△CBG，
∴AE=CG=1；
②当点E在点D的右侧运动时，CG=CD+DG=7，
∵△ACE≌△CBG，
∴AE=CG=7．