如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=8，BC=6，∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处（如图1）．（1）

Question

如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=8，BC=6，∠AOC=∠BCO=90°，经过点O   的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处（如图1）．
（1）若点D与点A重合，则θ=______，a=______；
（2）若折叠后点D恰为AB的中点（如图2），求θ的度数；
（3）若θ=45°，四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后，点B落在四边形OABC的边AB上的E处，直线l与AB相交于点F（如图3），
①求a的值；
②点P为边OA上一动点，连接PE，PF，直接写出PE+PF的最小值的平方．

Answer 1

（1）若点D与点A重合，
则θ=(1)/(2)∠COA=45°，OA=OC=8．
故答案为45°，8．                                         

（2）延长MD、OA，交于点N，如图2．
∵∠AOC=∠BCO=90°，
∴∠AOC+∠BCO=180°，
∴BC∥OA，
∴∠B=∠DAN．
在△BDM和△ADN中，

∠B＝∠DAN

BD＝AD

∠BDM＝∠ADN

，
∴△BDM≌△ADN（ASA），
∴DM=DN．
∵∠ODM=∠OCM=90°，
∴根据线段垂直平分线的性质可得OM=ON，
∴根据等腰三角形的性质可得∠MOD=∠NOD．
由折叠可得∠MOD=∠MOC=θ，
∴∠COA=3θ=90°，
∴θ=30°                                                   

（3）①过点B作BH⊥OA于点H，如图3．
∵∠COA=90°，∠COF=45°，
∴∠FOA=45°．
∵点B与点E关于直线l对称，
∴∠OFA=∠OFB=90°，
∴∠OAB=45°，
∴∠HBA=90°-45°=45°=∠HAB，
∴BH=AH．
∵CO⊥OA，BH⊥OA，∴CO∥BH．
∵BC∥OA，∴四边形BCOH是平行四边形，
∴BH=CO=8，OH=CB=6，
∴OA=OH+AH=OH+BH=6+8=14．                             
②过点F作OA的对称点Q，连接AQ、EQ，如图3，
则有∠QAO=∠FAO=45°，QA=FA，
∴∠QAF=90°．
在Rt△BHA中，AB=√(BH2+AH2)=8√(2)．
在Rt△OFA中，AF=OA•cos∠FAO=14×(√(2))/(2)=7√(2)，
∴AQ=AF=7√(2)．
OF=OA•sin∠FAO=14×(√(2))/(2)=7√(2)．
在Rt△OCB中，OB=√(OC2+BC2)=√(82+62)=10．
在Rt△OFB中，BF=√(OB2−OF2)=√(102−(7√(2))2)=√(2)．
由折叠可得EF=BF=√(2)，
∴AE=AF-EF=7√(2)-√(2)=6√(2)．
在Rt△QAE中，
EQ²=AE²+AQ²=（6√(2)）²+（7√(2)）²=170．
根据两点之间线段最短可得：
当点E、P、Q三点共线时，PE+PF=PE+PQ最短，最小值为线段EQ长．
∴PE+PF的最小值的平方是170．