如图，一次函数y=-23x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，线段AB的中点为D（3，2）．将△AOB沿直线CD折叠，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C．（1）求此一次函数的解析式；（2）求点C的

Question

如图，一次函数y=-(2)/(3)x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，线段AB的中点为D（3，2）．将△AOB沿直线CD折叠，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C．

（1）求此一次函数的解析式；
（2）求点C的坐标；
（3）在坐标平面内存在点P（除点C外），使得以A、D、P为顶点的三角形与△ACD全等，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

（1）设A点坐标为（a，0），B点坐标为（0，b），
由线段AB的中点为D（3，2），得
(0+a)/(2)=3，(0+b)/(2)=2，
解得a=6，b=4．
即A（6，0），B（0，4）
（2）如图1：连接BC，设OC=x，则AC=CB=6-x，
∵∠BOA=90°，
∴OB²+OC²=CB²，
4²+x²=（6-x）²，
解得x=(5)/(3)，
即C（(5)/(3)，0）；
（3）①当△ACD≌△APD时，设P₁（c，d），
由D是PC的中点，得
(c+(5)/(3))/(2)=3，(d+0)/(2)=2，
解得c=(13)/(3)，d=4，
即P₁（(13)/(3)，4）；
如图2：，
②当△ACD≌△DP₂A时，
做DE⊥AC与E，P₂F⊥AC与F点，DE=2，CE=3-(5)/(3)=(4)/(3)，
由△CDE≌△AP₂F，
AF=CE=(4)/(3)，P₂F=DE=2，
OF=6-(4)/(3)=(14)/(3)，
∴P₂（(14)/(3)，-2）；
③当△ACD≌△DP₃A时，设P₃（e，f）
A是线段P₂P₃的中点，得
(e+(14)/(3))/(2)=6，(f+(-2))/(2)=0，
解得e=(22)/(3)，f=2，
即P₃（(22)/(3)，2），
综上所述：P₁（(13)/(3)，4）；P₂（(14)/(3)，-2）；P₃（(22)/(3)，2）．