如图，己知AB是半径为2的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形．（1）求证：△DFB是等腰三角形；（2）若AF=1，求DA的长度；（3）若DA=7AF，

Question

如图，己知AB是半径为2的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形．

（1）求证：△DFB是等腰三角形；
（2）若AF=1，求DA的长度；
（3）若DA=√(7)AF，求证：CF⊥AB．

Answer 1

（1）证明：∵AB是 O直径，
∴∠ACB=90°，
∵△AEF为等边三角形，
∴∠CAB=∠EFA=60°
∴∠B=30°，
∵∠EFA=∠B+∠FDB，
∴∠B=∠FDB=30°，
∴△DFB是等腰三角形；

（2） 过点A作AM⊥DF于点M，
∵AB=2×2=4，AF=1，
∴BF=4-1=3，
∵DF=BF，
∴DF=3，
∵△AEF是等边三角形，
∴FM=EM=(1)/(2)AF=(1)/(2)，AM=√(3)FM=(√(3))/(2)，
在Rt△DAM中，AD=√(7)AF=√(7)×1=√(7)；


（3）证明：设AF=2a，

∵△AEF是等边三角形，
∴FM=EM=a，AM=√(3)a，
在Rt△DAM中，AD=√(7)AF=2√(7)a，AM=√(3)a，
∴DM=5a，∴DF=BF=6a，
∴AB=AF+BF=8a，
在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，
∴AC=4a，
∵AE=EF=AF=2a，
∴CE=AC-AE=2a，
∴∠ECF=∠EFC，
∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，
∴∠CFE=30°，
∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°，
∴CF⊥AB．