如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，点E在BC的延长线上，且∠EAC=∠B，以DE为直径的半圆交AD于点F，交AE于点M．（1）判断AF与DF的数量关系，并说明理由．（2）只用无刻度的直尺画出△ADE的

Question

如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，点E在BC的延长线上，且∠EAC=∠B，以DE为直径的半圆交AD于点F，交AE于点M．

（1）判断AF与DF的数量关系，并说明理由．
（2）只用无刻度的直尺画出△ADE的边DE上的高AH（不要求写作法，保留作图痕迹）．
（3）若EF=8，DF=6，求DH的长．

Answer 1

（1）AF=DF，
理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵∠B=∠CAE，
∴∠BAD+∠B=∠CAD+∠CAE．
即∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE，
∵DE是直径，
∴EF⊥AD，
∴AF=DF；

（2）如图：连接DM，DM交EF于G，作射线AG交DE于H，此时AH是高．

（3）在△EFD中，EF=8，DF=6，由勾股定理得，DE=AE=10，
∵AH是DE边上的高，
∴∠AHD=90°，
∵∠EFD=90°，
∴∠AHD=∠EFD，
∵∠ADH=∠EDF，
∴△ADH∽△EDF，
∴(DH)/(DF)=(AD)/(DE)，
∴(DH)/(6)=(12)/(10)，
解得DH=(36)/(5)．