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如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为AB的中点,N为BB1的中点,O为平面BCC1B1的中心.(1)过O作一直线与AN交于P,与CM交于Q(只写作法,不必证明);(2)求PQ的长.
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如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为AB的中点,N为BB1的中点,O为平面BCC1B1的中心.
(1)过O作一直线与AN交于P,与CM交于Q(只写作法,不必证明);
(2)求PQ的长.
(1)过O作一直线与AN交于P,与CM交于Q(只写作法,不必证明);
(2)求PQ的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)连接ON,由ON∥AD知,AD与ON确定一个平面α.又O、C、M三点确定一个平面β(如图所示).
∵三个平面α,β和ABCD两两相交,
有三条交线OP、CM、DA,其中交线DA与交线CM不平行且共面.
∴DA与CM必相交,记交点为Q,∴OQ是α与β的交线.
连接OQ与AN交于P,与CM交于Q,
故直线OPQ即为所求作的直线.
(2)在Rt△APQ中,易知AQ=1,又易知△APQ∽△OPN,
∴
=
=2,AN=
,∴AP=
,
∴PQ=
=
.
∵三个平面α,β和ABCD两两相交,
有三条交线OP、CM、DA,其中交线DA与交线CM不平行且共面.
∴DA与CM必相交,记交点为Q,∴OQ是α与β的交线.
连接OQ与AN交于P,与CM交于Q,
故直线OPQ即为所求作的直线.
(2)在Rt△APQ中,易知AQ=1,又易知△APQ∽△OPN,
∴
AP |
PN |
AQ |
NO |
| ||
2 |
| ||
3 |
∴PQ=
AQ2+AP2 |
| ||
3 |
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