有一玩具直升机，质量m=8kg．在直升机的顶部和尾部均装有风扇，它们分别由两个电动机提供动力．利用顶部风扇的转动可以使直升机向上运动，但由于直升机自身承受能力的限制，顶部风

Question

有一玩具直升机，质量m=8kg．在直升机的顶部和尾部均装有风扇，它们分别由两个电动机提供动力．利用顶部风扇的转动可以使直升机向上运动，但由于直升机自身承受能力的限制，顶部风扇的电动机最大只能输出P₁=960W的功率，能提供F₁=120N的最大升力；利用尾部风扇的转动可以提供F₂=40N的恒定推力使直升机向前飞行．顶部风扇和尾部风扇均可通过遥控装置分别进行控制．假设直升机在运动过程中所受阻力的竖直分量和水平分量均恒定不变，且竖直分量是重力的(1)/(5)，水平分量是重力的(1)/(10)．（g取10m/s²）
（1）关闭尾部风扇，只打开顶部风扇，让直升机在最短时间里上升到15m高的地方，此时直升机的速度近似达到最大，求完成这一过程所需要的时间．
（2）当直升机达到15m高度时，保持顶部风扇电动机功率不变，立即开启尾部风扇，直升机继续飞行．取地面上直升机的起点为坐标原点，竖直向上为y轴，直升机水平前进的方向为x轴，写出直升机开启尾部风扇以后飞行的轨迹方程．

Answer 1

（1）要在最短时间内上升到15m高的地方，直升机应该先以最大的升力向上运动，达到最大功率后，再以最大功率向上运动．
先以最大升力上升，直升机做匀加速运动，加速度a=(F−(k1+1)mg)/(m)＝3m/s2
经过时间t₁达到最大功率，此时有Fv_m=P_m，
即v_m=(Pmax)/(F)＝(960)/(120)＝8m/s
则t1＝(vm)/(a)＝(8)/(3)s，上升的高度h1＝(1)/(2)at2＝(1)/(2)×3×(64)/(9)＝(32)/(3)m
此后直升机顶部风扇电动机以最大功率输出，使直升机上升到15m高处，达到最大速度v_max=(Pmax)/((k1+1)mg)=10m/s，需要的时间为t₂．
根据动能定理有：
Pmaxt2−(k1+1)mg(h−h1)＝(1)/(2)mvmax2−(1)/(2)mv_m²，
代入数据解得：t₂=(7)/(12)s
所以最短时间为t=t₁+t₂=3.25s
（2）达到15m高度时，顶部风扇电动机功率不变，取此时tt=0，则直升机在竖直方向上做匀速运动，有：v_y=10m/s，y=15+10t
在水平方向上做匀加速直线运动，加速度a1＝(F1−k2mg)/(m)＝4m/s2
x=(1)/(2)a1t2
消去时间得直升机飞行的轨迹方程为（y-15）²=50x
答：（1）完成这一过程所需要的时间为3.25s．
（2）直升机开启尾部风扇以后飞行的轨迹方程为（y-15）²=50x．