回旋加速器在核科学、核技术、核医学等高新技术领域得到了广泛应用，有力地推动了现代科学技术的发展．（1）当今医学成像诊断设备PET/CT堪称“现代医学高科技之冠”，它在医疗诊

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回旋加速器在核科学、核技术、核医学等高新技术领域得到了广泛应用，有力地推动了现代科学技术的发展．
（1）当今医学成像诊断设备PET/CT堪称“现代医学高科技之冠”，它在医疗诊断中，常利用能放射电子的同位素碳11为示踪原子，碳11是由小型回旋加速器输出的高速质子轰击氮14获得，同时还产生另一粒子，试写出核反应方程．若碳11的半衰期τ为20min，经2.0h剩余碳11的质量占原来的百分之几？（结果取2位有效数字）
（2）回旋加速器的原理如图，D₁ 和D₂ 是两个中空的半径为R的半圆金属盒，它们接在电压一定、频率为f的交流电源上，位于D₁ 圆心处的质子源A能不断产生质子（初速度可以忽略，重力不计），它们在两盒之间被电场加速，D₁ 、D₂ 置于与盒面垂直的磁感应强度为B的匀强磁场中．若质子束从回旋加速器输出时的平均功率为P，求输出时质子束的等效电流I与P、B、R、f的关系式（忽略质子在电场中运动的时间，其最大速度远小于光速）
（3）试推理说明：质子在回旋加速器中运动时，随轨道半径r的增大，同一盒中相邻轨道的半径之差△r是增大、减小还是不变？

▼优质解答

答案和解析

（1）核反应方程为₇ ¹⁴ N+₁ ¹ H→₆ ¹¹ C+₂ ⁴ He…①
设碳11原有质量为m₀ ，经过t=2.0h剩余的质量为m_t ，根据半衰期定义，有：

m t

m 0

)

120

=1.6% …②
（2）设质子质量为m，电荷量为q，质子离开加速器时速度大小为v，由牛顿第二定律知： qvB=m

v 2

…③
质子运动的回旋周期为： T=

2πR

2πm

…④
由回旋加速器工作原理可知，交变电源的频率与质子回旋频率相同，由周期T与频率f的关系可得： f=

…⑤
设在t时间内离开加速器的质子数为N，则质子束从回旋加速器输出时的平均功率 P=

N•

m v 2

…⑥
输出时质子束的等效电流为： I=

…⑦
由上述各式得 I=

πB R 2 f

（3）方法一：
设k（k∈N^* ）为同一盒子中质子运动轨道半径的序数，相邻的轨道半径分别为r_k ，r_k+1 （r_k ＜r_k+1 ），△r_k =r_k+1 -r_k ，
在相应轨道上质子对应的速度大小分别为v_k ，v_k+1 ，D₁ 、D₂ 之间的电压为U，
由动能定理知 2qU=

2k+1

…⑧
由洛伦兹力充当质子做圆周运动的向心力，知 r k =

m v k

，
则 2qU=

q 2 B 2

(

2k+1

) …⑨
整理得 △ r k =

4mU

q B 2 ( r k+1 - r k )

…⑩
因U、q、m、B均为定值，令 C=

4mU

q B 2

，由上式得 △ r k =

r k + r k+1

…（11）
相邻轨道半径r_k+1 ，r_k+2 之差△r_k+1 =r_k+2 -r_k+1
同理 △ r k =

r k+1 + r k+2

因为r_k+2 ＞r_k ，比较△r_k ，△r_k+1 得△r_k+1 ＜△r_k
说明随轨道半径r的增大，同一盒中相邻轨道的半径之差△r减小
方法二：
设k（k∈N*）为同一盒子中质子运动轨道半径的序数，相邻的轨道半径分别为r_k ，r_k+1 （r_k ＜r_k+1 ），△r_k =r_k+1 -r_k ，
在相应轨道上质子对应的速度大小分别为v_k ，v_k+1 ，D₁ 、D₂ 之间的电压为U
由洛伦兹力充当质子做圆周运动的向心力，知 r k =

m v k

，故

r k

r k+1

v k

v k+1

…（12）
由动能定理知，质子每加速一次，其动能增量△E_k =qU …（13）
以质子在D₂ 盒中运动为例，第k次进入D₂ 时，被电场加速（2k-1）次
速度大小为 v k =

(2k-1)2qU

…（14）
同理，质子第（k+1）次进入D₂ 时，被电场加速（2k+1）次，速度大小为 v k+1 =

(2k+1)2qU

综合上述各式可得

r k