如何求值域?如何判断值域?

Question

如何求值域?如何判断值域?

Answer 1

判断函数单调性的常用方法
一、定义法
设x1,x2是函数f(x)定义域上任意的两个数,且x1＜x2,若f(x1)＜f(x2),则此函数为增函数；反知,若f(x1)＞f(x2),则此函数为减函数.
二、性质法
除了用基本初等函数的单调性之外,利用单调性的有关性质也能简化解题.
若函数f(x)、g(x)在区间B上具有单调性,则在区间B上有：
⑴ f(x)与f(x)＋C（C为常数）具有相同的单调性；
⑵ f(x)与c•f(x)当c＞0具有相同的单调性,当c＜0具有相反的单调性；

⑷当f(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)＋g(x)都是增(减)函数；
⑸当f(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数,当两者都恒小于0时也是减(增)函数；
三、同增异减法
是处理复合函数的单调性问题的常用方法. 对于复合函数y＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域),可令 t＝g(x),则三个函数 y＝f(t)、t＝g(x)、y＝f [g(x)]中,若有两个函数单调性相同,则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反,则第三个函数为减函数.
注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性,偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；
（2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；
（3）如果f(x)在区间D上是增（减）函数,那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）函数.
四、求导法
导数小于0就是递减,大于0递增,等于0,是拐点极值点
【求函数值域的常用方法】
1．观察法
用于简单的解析式.
y＝1－√x≤1,值域(－∞, 1]
y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).
2.配方法
多用于二次(型)函数.
y＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, ＋∞）
y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）
3. 换元法
多用于复合型函数.
通过换元,使高次函数低次化,分式函数整式化,无理函数有理化,超越函数代数以方便求值域.
特别注意中间变量（新量）的变化范围.
y=-x+2√( x-1)+2
令t=√(x-1),
则t≤0, x=t^2+1.
y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤1,值域(－∞, 1].
4. 不等式法
用不等式的基本性质,也是求值域的常用方法.
y=（e^x+1）/(e^x-1), (0