用三角法求y=1+λ1+λ2的值域．

Question

用三角法求y=(1+λ)/(√(1+λ2))的值域．

Answer 1

令λ=tanx，−(π)/(2)＜x＜(π)/(2)，则1+λ²=1+tan2x＝(1)/(cos2x)；
∴y=cosx（1+tanx）=sinx+cosx=√(2)sin(x+(π)/(4))；
∵−(π)/(4)＜x+(π)/(4)＜(3π)/(4)，∴−(√(2))/(2)＜sin(x+(π)/(4))≤1；
∴−1＜√(2)sin(x+(π)/(4))≤√(2)，即−1＜y≤√(2)；
∴原函数的值域为（-1，√(2)]．