已知函数f（x）=2x+2-x．（1）用函数单调性定义证明：f（x）是区间（0，+∞）上的增函数；（2）若f（x）=5•2-x+3，求x的值．

Question

已知函数f（x）=2^x+2^-x．
（1）用函数单调性定义证明：f（x）是区间（0，+∞）上的增函数；
（2）若f（x）=5•2^-x+3，求x的值．

Answer 1

（1）当0＜x₁＜x₂时，
f(x1) −f(x2)＝2x1+2−x1−2x2−2−x2，（2分）
因x₁＜x₂，则2x1＜2x2，（3分）
可知f(x1) −f(x2)＝2x1+2−x1−2x2−2−x2＜0，（5分）
故证得f（x）是区间（0，+∞）上的增函数；  （6分）
（2）令t=2^x，
根据f（x）=5•2^-x+3，
可得t²-3t-4=0，（8分）
解方程得t=4，t=-1（因t＞0舍去），（10分）
进而可得x=2．（14分）