已知函数f（x）=loga1−x1+x（a＞0且a≠1）的图象经过点P（-45，2）．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）设g(x)＝1−x1+x，用函数单调性的定义证明：函数y=g（x）在区间（-1，1）上单调递减；（

Question

已知函数f（x）=log_a(1−x)/(1+x)（a＞0且a≠1）的图象经过点P（-(4)/(5)，2）．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）设g(x)＝(1−x)/(1+x)，用函数单调性的定义证明：函数y=g（x）在区间（-1，1）上单调递减；
（3）解不等式：f（t²-2t-2）＜0．

Answer 1

（1）f(−(4)/(5))＝loga(1−(−(4)/(5)))/(1+(−(4)/(5)))＝2，解得：a²=9，∵a＞0 且a≠1∴a=3；…（3分）
（2）设x₁、x₂为（-1，1）上的任意两个值，且x₁＜x₂，则x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₂-x₁＞0
∵g（x₁）-g（x₂）=(1−x1)/(1+x1)−(1−x2)/(1+x2)=(2(x2−x1))/((1+x1)(1+x2))  …（6分）
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，
∴g（x₁）＞g（x₂）．
∴g(x)＝(1−x)/(1+x)在区间（-，1）上单调递减．…（8分）
（3）∵log3(1−(t2−2t−2))/(1+(t2−2t−2))＜0
∴0＜(1−(t2−2t−2))/(1+(t2−2t−2))＜1…（10分）
由(1−(t2−2t−2))/(1+(t2−2t−2))＜1，
得：t²-2t-2＞0或t²-2t-2＜-1；
由(1−(t2−2t−2))/(1+(t2−2t−2))＞0
得：-1＜t²-2t-2＜1，
∴0＜t²-2t-2＜1…（13分）
∴−1＜t＜1−√(3)或1+√(3)＜t＜3．                    …（15分）