若函数y=为奇函数．（1）求a的值；（2）求函数的定义域；（3）讨论函数的单调性．

Question

若函数y= 为奇函数．
（1）求a的值；
（2）求函数的定义域；
（3）讨论函数的单调性．

Answer 1

若函数y= 为奇函数．
（1）求a的值；
（2）求函数的定义域；
（3）讨论函数的单调性．

（1）∵函数y=f（x）= 为奇函数，
∴f（﹣x）+f（x）=0
∴ =0
∴ ，∴a=﹣
（2）f（x）= ，
∵2 ^x ﹣1≠0，∴2 ^x ≠1，∴x≠0
∴函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）
（3）f（x）= 在（﹣∞，0）和（0，+∞）上为增函数
证明：任取x ₁ ，x ₂ ∈（0，+∞），且x ₁ ＜x ₂ ，
则2x ₁ ＜2x ₂ ，2x ₁ ﹣1＞0，2x ₂ ﹣1＞0，
∴f（x ₁ ）﹣f（x ₂ ）=（ ）﹣（ ）= ＜0，
∴f（x ₁ ）＜f（x ₂ ），
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
任取x ₁ ，x ₂ ∈（﹣∞，0）且x ₁ ＜x ₂ ，则﹣x ₁ ＞﹣x ₂ ＞0，
因为f（x）在（0，+∞）上为增函数，
所以f（﹣x ₁ ）＞f（﹣x ₂ ），
因为f（x）是奇函数，
所以f（﹣x ₁ ）=﹣f（x ₁ ），f（﹣x ₂ ）=﹣f（x ₂ ），
∴﹣f（x ₁ ）＞﹣f（x ₂ ），
∴f（x ₁ ）＜f（x ₂ ），
∴f（x）在（﹣∞，0）上为增函数．