定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=x2-2x（1）若x∈[-4，-2]时，求f（x）的解析式；（2）若x∈[-4，-2]时，f（x）≥118(3t−t)恒成立，求实数t的取值范围．

Question

定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x
（1）若x∈[-4，-2]时，求f（x）的解析式；
（2）若x∈[-4，-2]时，f（x）≥(1)/(18)((3)/(t)−t)恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）设x∈[-4，-2]，则x+4∈[0，2]，
∵当x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x
∴f（x+4）=（x+4）²-2（x+4）=x²+6x+8
又∵f（x+2）=3f（x）
∴f（x+4）=3f（x+2）=9f（x）=x²+6x+8
∴f(x)＝(1)/(9)(x2+6x+8)
（2）∵x∈[-4，-2]时，f(x)＝(1)/(9)(x2+6x+8)=((x+3)2−1)/(9)
当x=-2时，f（x）_min=f（-3）=-(1)/(9)
则由f（x）≥(1)/(18)((3)/(t)−t)恒成立，可得-(1)/(9)≥((3)/(t)−t)/(18)
整理可得，((t−3)(t+1))/(t)≥0
∴-1≤t＜0或t≥3