已知a＞0且a≠1，函数f（x）=loga（x+1），g(x)＝loga11−x，记F（x）=2f（x）+g（x）．（1）求函数F（x）的定义域及其零点；（2）若关于x的方程F（x）-2m2+3m+5=0在区间[0，1）内仅有一解，求实数m

Question

已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log_a（x+1），g(x)＝loga(1)/(1−x)，记F（x）=2f（x）+g（x）．
（1）求函数F（x）的定义域及其零点；
（2）若关于x的方程F（x）-2m²+3m+5=0在区间[0，1）内仅有一解，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）F（x）=2f（x）+g（x）=2loga(x+1)+loga(1)/(1−x)（a＞0且a≠1），
要使函数F（x）有意义，则必须

x+1＞0

1−x＞0

，解得-1＜x＜1，
∴函数F（x）的定义域为D=（-1，1）．
令F（x）=0，则2loga(x+1)+loga(1)/(1−x)＝0…（*）
方程变为loga(x+1)2＝loga(1−x)，
∴（x+1）²=1-x，即x²+3x=0
解得x₁=0，x₂=-3，
经检验x=-3是（*）的增根，
∴方程（*）的解为x=0，
∴函数F（x）的零点为0．
（2）函数y＝x+1，y＝(1)/(1−x)在定义域D上是增函数，可得：
①当a＞1时，F（x）=2f（x）+g（x）在定义域D上是增函数，
②当0＜a＜1时，函数F（x）=2f（x）+g（x）在定义域D上是减函数．
因此问题等价于关于x的方程2m²-3m-5=F（x）在区间[0，1）内仅有一解．
①当a＞1时，由（2）知，函数F（x）在[0，1）上是增函数，
∴F（x）∈[0，+∞），
∴只需2m²-3m-5≥0，解得：m≤-1，或m≥(5)/(2)．
②当0＜a＜1时，由（2）知，函数F（x）在[0，1）上是减函数，
∴F（x）∈（-∞，0]，
∴只需2m²-3m-5≤0解得：−1≤m≤(5)/(2)，
综上所述，当0＜a＜1时：−1≤m≤(5)/(2)；
当a＞1时，m≤-1，或m≥(5)/(2)．