已知数列{an}的前n项的平均数的倒数为12n+1，（1）求{an}的通项公式；（2）设cn＝an2n+1，试判断并说明cn+1-cn（n∈N*）的符号；（3）设函数f(x)＝−x2+4x−an2n+1，是否存在最大的实数λ，当x≤λ时

Question

已知数列{a_n}的前n项的平均数的倒数为(1)/(2n+1)，
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设cn＝(an)/(2n+1)，试判断并说明c_n+1-c_n（n∈N^*）的符号；
（3）设函数f(x)＝−x2+4x−(an)/(2n+1)，是否存在最大的实数λ，当x≤λ时，对于一切自然数n，都有f（x）≤0．

Answer 1

（1）∵数列{an}的前n项的平均数的倒数为12n+1，∴a1+a2+…+an-1+an=n（2n+1），a1+a2+…+an-1=（n-1）（2n-1）两式相减得an=4n-1（n≥2），∵a1=3，∴an=4n-1（n∈N）（2）∵cn＝an2n+1＝4n−12n+1＝2−32n+1，cn+1...