复变函数幂函数w=z^a当z为有理数p/q（p与q为互质整数,q>0)条件如题,z^(p/q)=e^[(p*Lnz)/q)=e^[(p*lnz)/q]+pi*2kπ(k为整数）,由于p与q互质,当k取0,1,.,q-1时,有e^(i*2kπp/q)=(e^2kpπ)^(1/q)是q个不同的值,但是如果变

Question

复变函数幂函数w=z^a当z为有理数p/q（p与q为互质整数,q>0)
条件如题,z^(p/q)=e^[(p*Lnz) /q)=e^[(p*lnz)/q]+pi*2kπ(k为整数）,由于p与q互质,当k取0,1,.,q-1时,有e^(i*2kπp/q)=(e^2kpπ)^(1/q)是q个不同的值,但是如果变成 左式=（e^2πi)^(kp/q) 时,括号内恒等于0,那么无论开多少次方根结果都是1啊,怎么会出现q个不同的值?

Answer 1

确实e^(2πi) = 1,但是没有结论保证1开多少次方的结果都是1.
最简单的,1^(1/2)就有1和-1两种取值.
一般的,x^q = 1在复数域内有q个不同的解,是1^(1/q)的q个不同取值.