长方体ABCD-A1B1C1D1的各个顶点都在表面积为16π的球O的球面上，其中AB：AD：AA1＝2：1：3，则四棱锥O-ABCD的体积为（）A．63B．263C．23D．3

Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各个顶点都在表面积为16π的球O的球面上，其中AB：AD：AA1＝2：1：√(3)，则四棱锥O-ABCD的体积为（　　）

A．(√(6))/(3)
B．(2√(6))/(3)
C．2√(3)
D．3

Answer 1

因为AB：AD：AA1＝2：1：√(3)，故可设AB、AD、AA₁分别为2x，x，√(3)x，（x＞0）
由题意可知，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体对角线等于其外接球O的直径，而由S=4πR²=16π，得
R=2，即2R=4，故4=√((2x)2+x2+(√(3)x)2)，解得，x=√(2)，故三边长分别为2√(2)，√(2)，√(6)
即四棱锥O-ABCD的底面为边长为2√(2)，√(2)的矩形，高为(√(6))/(2)
∴四棱锥O-ABCD的体积V=(1)/(3)×2√(2)×√(2)×(√(6))/(2)=(2√(6))/(3)，
故选B