如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，点E，F分别是AB和PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）若CD=2PD=2AD=2，四棱锥P-ABCD外接球的表面积．

Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，点E，F分别是AB和PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）若CD=2PD=2AD=2，四棱锥P-ABCD外接球的表面积．

Answer 1

（1）证明：取PD的中点G，连接FG，GA，由G、F分别是PD、PC的中点，知GF是△PDC的中位线，
GF∥DC，GF=(1)/(2)DC，
E是AB中点，AE=(1)/(2)AB，
矩形ABCD中，AB∥DC，AB=DC，
∴GF∥AE，GF=AE…（3分）
∴四边形AEFG是平行四边形，EF∥AG，
EF在平面PDA外，AG在平面PDA内，
∴EF∥平面PDA．…（6分）
（2）∵底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，
∴AB⊥AD，AB⊥PD，
∴AB⊥平面PAD，
∴四棱锥P-ABCD的 外接球即以DP，DA，DC为棱的长方体的外接球．
∴R=(√(12+12+22))/(2)＝(√(6))/(2)，
∴S=4πR²=6π．…（12分）