求证：设m和n是互素的正整数,则Cmn=Cm和Cn的直和,（Ci为 i 阶循环群）近世代数 模论

Question

求证：设m和n是互素的正整数,则Cmn=Cm和Cn的直和,（Ci为 i 阶循环群）
近世代数 模论

Answer 1

设Cmn=,因为(m,n)=1,所以存在整数s,t使ms+nt=1,故a=(a^m)^s+(a^n)^t,显然ord(a^m)=n,ord(a^n)=m,Cm和Cn都是交换群,所以Cmn=Cm+Cn,
因为(m,n)=1,所以Cm交Cn={e},这说明Cmn是Cm和Cn的直和.