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高数证明题设函数f(x)在(a,b)内有定义,对于x1,x2∈(a,b)恒有:|f(x2)-f(x1)|≤A(x2-x1)^2,(A≥0,常数),试证:f(x)在(a,b)内可微,且f`(x)≡0
题目详情
高数证明题
设函数f(x)在(a,b)内有定义,对于x1,x2∈(a,b)恒有:|f(x2)-f(x1)|≤A(x2-x1)^2,(A≥0,常数),试证:f(x)在(a,b)内可微,且f`(x)≡0
设函数f(x)在(a,b)内有定义,对于x1,x2∈(a,b)恒有:|f(x2)-f(x1)|≤A(x2-x1)^2,(A≥0,常数),试证:f(x)在(a,b)内可微,且f`(x)≡0
▼优质解答
答案和解析
由题意
对于任意的x,x+△x∈(a,b)(其中△x≠0)
恒有|f(x+△x)-f(x)|≤A(△x+x-x)^2=A(△x)^2=A|△x|^2
不等式两边同时除以|△x|,然后取极限.得
lim(△x趋向0)|[f(x+△x)-f(x)]/△x|
对于任意的x,x+△x∈(a,b)(其中△x≠0)
恒有|f(x+△x)-f(x)|≤A(△x+x-x)^2=A(△x)^2=A|△x|^2
不等式两边同时除以|△x|,然后取极限.得
lim(△x趋向0)|[f(x+△x)-f(x)]/△x|
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