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高数证明题设函数f(x)在（a,b）内有定义,对于x1,x2∈（a,b）恒有：|f(x2)-f(x1)|≤A（x2-x1）^2,(A≥0,常数),试证：f(x)在(a,b)内可微,且f`(x)≡0
题目详情
高数证明题
设函数f(x)在（a,b）内有定义,对于x1,x2∈（a,b）恒有：|f(x2)-f(x1)|≤A（x2-x1）^2,(A≥0,常数),试证：f(x)在(a,b)内可微,且f`(x)≡0
设函数f(x)在（a,b）内有定义,对于x1,x2∈（a,b）恒有：|f(x2)-f(x1)|≤A（x2-x1）^2,(A≥0,常数),试证：f(x)在(a,b)内可微,且f`(x)≡0
▼优质解答
答案和解析
由题意
对于任意的x,x+△x∈（a,b）（其中△x≠0）
恒有|f（x+△x）-f（x）|≤A（△x+x-x）^2=A（△x）^2=A|△x|^2
不等式两边同时除以|△x|,然后取极限.得
lim(△x趋向0)|[f（x+△x）-f（x）]/△x|
对于任意的x,x+△x∈（a,b）（其中△x≠0）
恒有|f（x+△x）-f（x）|≤A（△x+x-x）^2=A（△x）^2=A|△x|^2
不等式两边同时除以|△x|,然后取极限.得
lim(△x趋向0)|[f（x+△x）-f（x）]/△x|
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