一三角数学题在△ABC中已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c若a+c=2b1.求证2cos[(A+C)/2]=cos[(A-C)/2]2.若B=60度,试确定△ABC形状

Question

一三角数学题
在△ABC中已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c若a+c=2b
1.求证2cos[(A+C)/2]=cos[(A-C)/2]
2.若B=60度,试确定△ABC形状

Answer 1

1证明：由正弦定理可得： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,（其中R是△ABC的外接圆半径）
∴ a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC,代入a＋c=2b 整理得
sinA＋sinC=2sinB 由积化和差公式、倍角公式可以得到
sinA＋sinB=2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2] sinB=2sinB/2cosB/2;
∴ 2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2] =4sinB/2cosB/2 又A+C=180°－B 所以
sin[90°－B/2]cos[(A-C)/2] =2sin[90°－(A+C)/2]cosB/2
∴cosB/2cos[(A-C)/2] =2cos[(A+C)/2]cosB/2
∴2cos[(A+C)/2]=cos[(A-C)/2]
2、由余弦定理可以知道 b=a²＋c²－2accosB ,又由题意可以得b=(a+c)/2 ∠B=60°代入整理得
（a-c）²=0
∴ a=c 又∠B=60°
∴△ABC是等边三角形