已知直线l过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，（1）求△ABO的面积的最小值及其这时的直线l的方程；（2）求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值．

Question

已知直线l过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，
（1）求△ABO的面积的最小值及其这时的直线l的方程；
（2）求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值．

Answer 1

（1）设A（a，0），B（0，b）（a＞3，b＞2），
则直线l的方程为：(x)/(a)+(y)/(b)＝1（1分）
∵直线l过点P（3，2），∴(3)/(a)+(2)/(b)＝1，
∴b＝(2a)/(a−3)，S△＝(1)/(2)ab＝(1)/(2)a•(2a)/(a−3)＝(a2)/(a−3)（1分）
=(a−3)+(9)/(a−3)+6≥2√((a−3)•(9)/(a−3))+6＝12（1分）
当且仅当

a＞3

a−3＝(9)/(a−3)

，即a=6时，（S_△）_min=12（1分）
直线l的方程为：(x)/(6)+(y)/(4)＝1，即2x+3y-12=0（1分）
（2）∵(3)/(a)+(2)/(b)＝1 (a＞3，b＞2)
∴a+b＝(a+b)•1＝(a+b)•((3)/(a)+(2)/(b))（1分）
=3+(2a)/(b)+(3b)/(a)+2≥5+2√((2a)/(b)•(3b)/(a))＝5+2√(6)（2分）
当且仅当

(3)/(a)+(2)/(b)＝1

(2a)/(b)＝(3b)/(a)

a＞3，b＞2

，即

a＝3+√(6)

b＝2+√(6)

时，（1分）
(a+b)min＝5+2√(6)（1分）