二重积分对称区域上奇偶函数的积分性质中关于X轴,Y轴和原点对称的疑问?积分区域D关于原点对称,1、∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=0（当f关于x,y的奇函数,即f(-x,-y)=-f(x,y)时）2、∫∫f(x,y)dxdy

Question

二重积分对称区域上奇偶函数的积分性质中关于X轴,Y轴和原点对称的疑问?
积分区域D关于原点对称,
1、∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=0（当f关于x,y的奇函数,即f(-x,-y)=-f(x,y)时）
2、∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=2∫∫f(x,y)dxdy（在区域D*上积分,其中区域D*是区域D在x>=0(或y>=0)的部分）,（当f关于x,y的偶函数,即f(-x,-y)=f(x,y)时）
现假设区域D为X²+Y²=1,f(x,y)=XY.
首先,区域D关于X轴对称,f(x,y）对Y是奇函数,那么∫∫f(x,y)dxdy=0：
或者,区域D关于Y轴对称,f(x,y）对X是奇函数,那么∫∫f(x,y)dxdy=0：
但是,区域D关于原点对称,f(x,y）是关于x,y的偶函数,那么
∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=2∫∫f(x,y)dxdy（在区域D*上积分,其中区域D*是区域D在x>=0(或y>=0)的部分）；结果不是0.

Answer 1

结果也是0,因为：
【∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=2∫∫f(x,y)dxdy（在区域D*上积分,其中区域D*是区域D在x>=0(或y>=0)的部分）；】
这里面的2∫∫f(x,y)dxdy（在区域D*上积分,其中区域D*是区域D在x>=0(或y>=0)的部分）本身就等于0,因为f(x,y)是奇函数