k为正整数,当k>2时,1/a^k+1/b^k=1/c^ka、b、c有无整数解?如有,请构造一个,如无,请给出证明过程.

Question

k为正整数,当k>2时,1/a^k+1/b^k=1/c^k
a、b、c有无整数解?如有,请构造一个,如无,请给出证明过程.

Answer 1

k为正整数,当k>2时,1/a^k+1/b^k=1/c^k 没有整数解.
反证法,假设存在整数a、b、c,使1/a^k+1/b^k=1/c^k成立,则必有
(ac)^k+(bc)^k=(ab)^k
显然,a、b、c均不为零,由费马大定理可知x^k+y^k=z^k 不存在非平凡解,这与费马大定理矛盾.