已知过点(0，1)的直线l与曲线C：交于两个不同点M和N。求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹。

Question

已知过点(0，1)的直线 l 与曲线 C ： 交于两个不同点 M 和 N 。求曲线 C 在点 M 、 N 处切线的交点轨迹。

Answer 1

点 P 的轨迹为(2，2)，(2，2.5)两点间的线段（不含端点）。

设点 M 、 N 的坐标分别为( x ₁ ， y ₁ )和( x ₂ ， y ₂ )，曲线 C 在点 M 、 N 处的切线分别为 l ₁ 、 l ₂ ，其交点 P 的坐标为( x _p ， y _p )。若直线 l 的斜率为 k ，则 l 的方程为 y=kx+ 1。
由方程组 ，消去 y ，得 ，即 。由题意知，该方程在(0，+∞)上有两个相异的实根 x ₁ 、 x ₂ ，故 k ≠1，且 …(1)， …(2)， …(3)，由此解得 。对 求导，得 ，则 ， ，于是直线 l ₁ 的方程为 ，
即 ，化简后得到直线 l ₁ 的方程为 …(4)。同理可求得直线 l ₂ 的方程为 …(5)。(4)-(5)得 ，因为 x ₁ ≠ x ₂ ，故有 …(6)。将(2)(3)两式代入(6)式得 x _p =2。(4)+(5)得 …(7)，其中 ， ，代入(7)式得 ，而 x _p =2，得 。又由 得 ，即点 P 的轨迹为(2，2)，(2，2.5)两点间的线段（不含端点）。