设双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1的右焦点为F2,过点F2的直线L与双曲线C交于A、B两点,直线L的斜率为根号35,且向量AF2=2向量F2B;求1、双曲线C的离心率；2、如果F1为双曲线C的左焦点,且F1到L的距离为2根号

Question

设双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1的右焦点为F2,过点F2的直线L与双曲线C交于A、B两点,直线L的斜率为根号35,且向量AF2=2向量F2B;
求1、双曲线C的离心率；
2、如果F1为双曲线C的左焦点,且F1到L的距离为2根号35/3,求双曲线C的方程.

Answer 1

作双曲线的右准线l,(x=a^2/c),
右准线与Y轴平行,被夹于右顶点和Y轴之间,
分别作AA1⊥l,BB1⊥l,垂足分别为A1、B1,作BH⊥AA1,交AA1于H,
根据双曲线第二定义,
|AF2|/|AA1|=|BF2|/|BB1|=e,(e是离心率）,
∴|AA1|/|BB1|=|AF2|/|BF2|,
∵向量AF2=2向量F2B,
∴|AF2|/|BF2|=2,
∴|AA1|=2|BB1|,
∴|AH|=|AA1|/2,
∵|AF2|=2|AB|/2,
∴|AB|=3|AA1|/2,
凤AB与X轴成角为θ,
cosθ=|AH|/|AB|,
直线AB的斜率k=√35,
tanθ=√35,
secθ=√[（tanθ）^2+1]=6,
cosθ=1/6,
∴|AH|/|AB|=1/6,
∴（|AA1|/2）|/[3|AF2|/2]=1/6,
∴|AA1|/|AF2|=1/2,
∴离心率：e=|AF2|/|AA1|=2,
2、直线方程为：y=√35（x-c),
√35x-y-√35 c=0,
左焦点F1至AB距离d=|-√35c-0- √35c|/√（35+1）
=2√35 c/6,
2√35 c/6=2√35 /3,
∴c=2,
由前所述,e=2,
c/a=2,
∴2/a=2,
∴a=1,
b=√（c^2-a^2)=√3,
∴双曲线方程为：x^2-y^2/3=1.