如图，F是椭圆x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的一个焦点，A，B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为12．点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线l1：x+3y+3＝0相切．（Ⅰ）求椭圆的方程：（

Question

如图，F是椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0）的一个焦点，A，B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为(1)/(2)．点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线l₁：x+

3

y+3＝0相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程：
（Ⅱ）过点A的直线l₂与圆M交于PQ两点，且 

MP

•

MQ

＝−2，求直线l₂的方程．

Answer 1

（Ⅰ）∵F是椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0）的一个焦点，A，B是椭圆的两个顶点，
椭圆的离心率为(1)/(2)，
∴(c)/(a)＝(1)/(2)，∴(c2)/(a2)＝1−(b2)/(a2)=(1)/(4)，∴b=(3)/(2)a，c=(1)/(2)a，
设F（-c，0），B（0，(3)/(2)a）=（0，

3

c），
∵k_BF=(b)/(c)=

3

，BC⊥BF，
∴k_BC=-(3)/(3)，∴(b)/(xC)=(3)/(3)，∴x_C=

3

b=(3)/(2)a•

3

=(3)/(2)a=3c，
∴C（3c，0），
设圆M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
把B（0，

3

c），C（3c，0），F（-c，0）代入，得：

3c2+

3

cE+F＝0

9c2+3cD+F＝0

c2−cD+F＝0

，
解得D=-2c，E=0，F=-3c²，
∴圆M的方程为（x-c）²+y²=4c²，
∵圆M与直线l₁：x+

3

y+3=0相切，
∴(|1×c+3×0+3|)/(1+3)＝2c，解得c=1，
∴a=2，b=

3

，
∴所求的椭圆方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1．
（Ⅱ）∵A是椭圆方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1的左顶点，∴A（-2，0）