已知椭圆方程为x2+y2/2=1,直线l经过椭圆的焦点与椭圆交于A,B两点,若三角形AOB的面积为2/3,求直线l的方程

Question

已知椭圆方程为x2+y2/2=1,直线l经过椭圆的焦点与椭圆交于A,B两点,若三角形AOB的面积为2/3,求直线l的方程

Answer 1

椭圆 x2+y2/2=1
即 c=1 ,F（ 0,±1）
设直线L ：y=KX +1 ,
原点O(0,0) 到L 的距离 d= 1/√(K^2+1) ,
因 S 三角形AOB=2/3 ,即 1/2*AB*d=2/3 ,即AB= 4(K^2+1)/3 ,AB^2=16(K^2+1)^2 / 9 ------(1)
直线L ：y=KX +1 ,与椭圆 x2+y2/2=1
联立得 （2+K^2)X^2 +2KX-1=0
于是(X1-X2)^2= (8K^2+8)/(2+K^2)^2 ,
这样 AB^2 =(X1-X2)^2 (1+K^2) ----(2)
又(1),(2)得 2K^4-K^2-1=0 ,
解得 K=±1 ,及 K=±1/2
因焦点两个 F1( 0,1) ,F2 (0,-1)
故符合条件的直线L 应有8条
1) y=X +1 ,2) y= -X +1 ,3) y=1/2X +1 ,4) y=-1/2X +1 5) y=X -1 ,6) y= -X -1 ,7) y=1/2X -1 ,8) y=-1/2X -1