（2011•通州区一模）已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝12，右焦点为F（1，0）．（I）求椭圆C的方程；（II）求经过点A（4，0）且与椭圆C相切的直线方程；（III）设P为椭圆C上一动

Question

（2011•通州区一模）已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝(1)/(2)，右焦点为F（1，0）．
（I）求椭圆C的方程；
（II）求经过点A（4，0）且与椭圆C相切的直线方程；
（III）设P为椭圆C上一动点，以PF为直径的动圆内切于一个定圆E．求定圆E的方程．

Answer 1

（I）∵椭圆的离心率为e＝(1)/(2)，右焦点为F（1，0）．
∴(c)/(a)＝(1)/(2)，c=1
∴a=2，b²=a²-c²=3
∴椭圆C的方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1；
（II）设经过点A（4，0）且与椭圆C相切的直线方程为y=k（x-4）
代入椭圆方程可得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0
∴△=（32k²）-4（3+4k²）（64k²-12）=0
∴k2＝(1)/(4)
∴k=±(1)/(2)
∴所求直线方程为y=±(1)/(2)（x-4）；
（III）利用椭圆的定义，可得以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切
设PF的中点为C，则OC=(4−PF)/(2)=2-(PF)/(2)
∴以PF为直径的动圆内切于一个定圆E，圆心为（0，0），半径为半长轴长
∴定圆E的方程的方程为x²+y²=4．