（2014•洛阳二模）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，过F1垂直于x轴的直线与E相交于A，B两点，且|AB|=32，离心率为22．（1）求椭圆E的方程；（2）过焦点F2作与坐标轴

Question

（2014•洛阳二模）已知椭圆E：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F₁，F₂，过F₁垂直于x轴的直线与E相交于A，B 两点，且|AB|=3√(2)，离心率为(√(2))/(2)．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过焦点F₂作与坐标轴不垂直的直线l交椭圆E于C，D两点，点M是点C关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N使得D，M，N三点共线？若存在，求出点N坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意，x_A=-c，∴((−c)2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1，
∴y=±(b2)/(a)，
∴|AB|=2•(b2)/(a)=3√(2)，
∵(c)/(a)=(√(2))/(2)，b²=a²-c²，
∴a=3√(2)，b=3，
∴椭圆E的方程为(x2)/(18)+(y2)/(9)＝1；
（2）直线l：y=k（x-3）（k≠0），代入椭圆方程，消去y可得（2k²+1）x²-12k²x+18k²-18=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x₁+x₂=(12k2)/(1+2k2)，x₁x₂=(18k2−18)/(1+2k2)，
由已知M（x₁，-y₁），设存在定点N（t，0），使得D，M，N三点共线，
则(y2)/(x2−t)＝(−y1)/(x1−t)，
∴t=(x1y2+x2y1)/(y1+y2)=(2x1x2−3(x1+x2))/(x1+x2−6)=6，
∴在x轴上存在一个定点N（6，0），使得D，M，N三点共线．