已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为和，且||=2，点（1，）在该椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）过的直线与椭圆C相交于A，B两点，若AB的面积为

Question

已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为 和 ，且| |=2，
点（1， ）在该椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过 的直线 与椭圆C相交于A，B两点，若 A B的面积为 ，求以 为圆心且与直线 相切圆的方程．

Answer 1

（1） ；（2） .

试题分析：本题主要考查椭圆的定义和方程、圆的方程、点到直线的距离公式等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.第一问，利用 ，得 ，即 ，再根据点在椭圆上，得到 和 的值，从而得到椭圆方程；第二问，分2种情况进行讨论，当直线 垂直x轴时， 的面积很容易求出，与已知面积不相等，所以舍掉，当直线 不垂直x轴时，设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求出 ，再数形结合求出圆 的半径，从而求 的面积，解出k的值，确定半径的值，即可求出圆的方程.
试题解析：（1）椭圆C的方程为                             ．．（4分）
（2）①当直线 ⊥x轴时，可得 ， ， 的面积为3，不符合题意．   （6分）
②当直线 与x轴不垂直时，设直线 的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：
，显然 ＞0成立，设A ，B ，则
， ，可得|AB|=      ．．（9分）
又圆 的半径 ，∴ 的面积 =0 ，化简得： ，得k=±1，∴r = ，圆的方程为     ．．（12分）